数学课程的基本理念指出要关注学生已有的知识水平、能力差异以及数学本身的学科特点.关注学生的数学分析能力、计算能力和知识的迁移能力的提升,注重培养学生的创新思维和发散思维.提倡独立思考,探索交流,自主归纳,总结反思的学习方式,引导学生对数学知识体系有整体性和全面性的认识,树立正确的价值观. 1.高中数学单元教学设计的意义 高中数学单元教学是运用科学合理的方法系统对高中课程相互关联的内容进行规律
基金项目:2024年龙岩学院面向龙岩市基础教育教学改革研究项目“基于‘五育’视角下高中数学作业设计的实践研究”(编号:2024JCJY03);2023年龙岩市高级中学教育组团课题“高中数学试题命制的实践研究” 1.引言 《数学课程标准》指出:“命题应依据学业质量标准和课程内容,注重对学生数学学科核心素养的考查”“选择合适的问题情境”,还要求“问题情境的设计应自然、合理”.数学试题命制涵盖小到
一、问题的提出 从小学起,学生就开始接触统计.小学用丰富的案例,让学生体会统计,但仍处于“基于图像的直观判断”阶段,要求学生学会画简单的统计图.初中在小学图像的基础上,开始尝试利用“数字特征”进行统计分析,处于“基于图像与数据处理相结合的局部推断”阶段,要求学生从“直观描述”到“定量刻画”,初步体会数据分析的方法.到了高中,一个案例贯穿始终,让学生通过不同的统计视角,层层深入,反复对比,得出不
1.试题呈现 题目 (2022年新高考Ⅰ卷22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值. (1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 2.试题解析 本题主要是考查利用导数工具研究函数问题,涉及函数的单调性、极值和最值,函数的零点,等差数列等知识,具有一定的区分
基金项目:榆林市课题《GeoGebra在新人教A版高中函数教学中的应用研究》(课题编号:YWX242992) 《普通高中数学课程标准》(2017年版2020年修订)第88页在考试命题原则中强调:考查内容应围绕数学内容为主线,聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用,强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧.把握数学核心概念的本质,明晰什么是数学的通性通法[1].在一
一题多变的变式教学和训练有助于学生掌握知识和提升能力.以“一核、四层、四翼”高考评价体系为指引,一题多变教学策略主要体现在“四层、四翼”的教学评价体系中.在这种评价体系中,“一题多变”的教学策略可以作为一种教学方法,有助于帮助学生理解问题、掌握知识、提高思维能力和创新能力.同时,“一题多变”也符合“四翼”中关于教学评价的思路,即多元化评价,包括过程性评价、表现性评价等多种评价方式.通过一题多变的
1. 引言 含参不等式恒成立问题融入含参场景下的函数、方程或不等式等基本要素及其之间的综合与应用,一直是高考命题中的重点与热点.此类问题形式多样,创新新颖,内涵丰富多彩,知识综合性强,是全面考查考生“四基”与“四能”的一个很好场景,具有较好的选拔性与区分度,倍受各方关注. 2. 真题呈现 (2024年高考数学新高考Ⅱ卷·8) 设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2
条件概率与积事件的概率是概率重点和难点,一直是教学中的困顿点,学生经常把积事件的概率与条件概率搞混淆,还不容易发现错误,究其原因,无非是没有理解条件概率与积事件概率之间的区别与联系. 1.情景导入 典例 一个密码锁的密码有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.小明忘记了密码的最后一位数字,求任意按最后一位数字,第一次按错,第二次按对的概率. 题目的意思是一共按了二次,第一次按错了,第
基金项目:四川省教育科研资助金项目重点课题(SCJG20A049);四川省哲学社会科学重点研究基地—西华师范大学四川省教育发展研究中心资助项目(CJF23042);西藏自治区教育科学研究2023年度一般课题—西藏班(校)学生数学运算素养培养的教学实践研究(XZEDGP230070) 2024年全国新高考数学Ⅰ卷第19题立意高、思路广、解法多、思维活,本文从试题的命题立意、解题思路、教学启示等方
1.研究缘起 2021-2024年高考新课标Ⅰ卷三角函数试题引起了广泛关注,这不仅是因为它们在高考数学卷中的稳定出现,更重要的是这些试题在命题思路、知识点考察深度及广度等方面都展现出显著的特点.三角函数作为高中数学的重要内容,其试题设计在难度、考察重点及与其他知识点的交叉方面不断变化,反映了教学大纲和课程标准的调整.对这些试题的系统分析可以帮助教师更好地理解高考命题趋势,从而调整教学策略,提升
1.试题呈现 题目 (2024新高考数学2卷第8题)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为( ). A.18 B.14 C.12 D.1 该题简洁明了,清新脱俗,给人一种焕然一新的感觉.表面上考查函数知识,实际上考查不等式恒成立问题.深入考查分类讨论思想以及转化与化归思想,对直观想象、逻辑推理与数学运算等素养进行了深入的考查,
1. 问题的提出 解析几何是高中数学的重要内容,也是高考重点考察的内容.其特点是运算量大,导致计算量大的主要原因是:一是当曲线与直线进行联立时,由于二次曲线方程或直线方程形式较为复杂,涉及大量的代数运算;二是解析几何中问题常常涉及其他数学知识,如向量、距离、面积等,使得问题综合性强,计算变得繁琐.这些问题不仅考验学生的计算能力,还考验他们的逻辑思维和问题解决能力.本文以2024年新高考I卷第1
1765年,瑞士著名数学家Euler建立了关于△ABC的外接圆半径R和内切圆半径r的一个重要不等式R≥2r.设△ABC的三边长分别为a,b,c,外接圆、内切圆半径分别为R,r,1985年,V·Bandila建立了如下一个欧拉不等式的加强: Rr≥bc+cb.① 这是一个形式简洁、优美的不等式.本文笔者对该不等式进行探究. 1.Bandila不等式的证明 证明 记△ABC的面积为S,半周
本文对数学通报问题2584进行探究,并给出不等式的上界估计,利用结果证明一组相等三角形、几何不等式. 命题1 在△ABC中,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,外接圆、内切圆半径和半周长分别为R,r和p.试证:sinA2+sinB2+sinC2≥1+p33R①. 原证明通过角代换进行证明,笔者探究后,基于三角化简给出一种简单证明. 1.①式的简证 证明 记Σ表示循环求和.由三角
三角形的内切圆与各边的切点连线组成的三角形称为切点三角形.文[1]作者利用线段投影法得到了一系列结论,其中涉及三角形切点三角形周长的结论是: △ABC三边长BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,D,E,F分别是△ABC的内切圆与三边BC,CA,AB的切点,△DEF周长为l,则8△2abc≤l≤4(a+b+c)△2abc≤12(a+b+c)①. 文[1]中上述结果的证明较为繁琐,文先给出如下
本文对《数学通讯》征解问题12进行探讨,通过加强、逆向估计及其类似问题,全面整体的了解这类简洁、优美的三角形不等式. 题目 设△ABC的三边长为a,b,c,S为其面积,求证:bccosA2+cacosB2+abcosC2≥6S. ① 笔者研究后,发现不等式①可以加强,并给出不等式①的逆向估计,最后类比,得到一组类似结果. 该题是《数学通讯》2010年第4期征解问题12: 本文约定:
鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年5月模拟第13题,是一道双曲线中已知三斜率之积为定值,求双曲线离心率的填空题,本文首先探究试题的解法,然后推广到一般双曲线的情形,进而类比到椭圆和抛物线,得到有关结论. 1.试题及解法 题目斜率为1的直线与双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0交于两点A,B,点C是E上的一点,满足AC⊥BC,△OAC,△OBC的重心分别为P
过圆锥曲线左(或右)焦点的直线与曲线交于两点(异于顶点),坐标轴x轴(或y轴)上存在一个定点使得与这两点连线的斜率互为相反数.定点问题一直是圆锥曲线试题命题的热点问题之一,此类问题内涵丰富,具有一定的研究价值.本文以2023届贵州省贵阳市高三上学期高考适应性月考(三)中的圆锥曲线试题为例,探究问题的本质,从而得到几个一般性的结论. 一、试题呈现 题目 (2023届贵州省贵阳市高三上学期高考
本文对2024届安徽省A10联盟和2018年河南赛区预赛圆锥曲线试题进行拓展延伸,得出一类圆锥曲线倒数平方和为定值的结论. 1.试题呈现 例1 (2024届安徽省A10联盟第17题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点A-6,2在C上,且ΔAF1F2的面积为6. (1)求双曲线C的方程; (2)记点A在x轴上的射影为点B,过点B
基金项目:江苏省南通市教育科学规划课题 《基于“教学做合一”的数学章节起始课的教学研究》(编号XZ2023020) 2024年4月山东省潍坊二模数学第14题是一道以三角形为背景,考查三角恒等变换,正余弦定理等知识的填空压轴试题,题目来源于课本,短小精悍,综合考查学生运用数学知识解决问题的素养能力.本文从试题溯源、解法探究及感悟启示几个方面进行探究. 1.试题呈现 题目 在△ABC中,角A
含参函数不等式恒成立问题中,求参变量的取值范围,历来是高考题中的高频考点及热点.在这类题中,大部分又都有一个特点:端点即零点,即自变量取值范围的一个端点,正好是函数不等式取等号的点(零点).这类题一般采用函数分析法,通过对参变量分类讨论,分析函数的单调性,求出其最大(小)值,进而得出参变量的取值范围.这种方法相对繁杂,对数学运算、分类讨论等数学能力要求较高.本文另辟蹊径,结合端点效应与保号性原理
已知一个不等式恒成立欲求其相关的参数范围是一类常见的函数应用问题,其解题策略就是通过对不等式的代数变形,使之转化为求一个新函数的最值问题.与对应的是已知函数的最值求其式子中参数的值问题,其解题策略是将函数式变形为不等式恒成立问题,再转化其一个新函数的最值.这两类问题的解决就是两个数学概念之间的不断转换,通过对函数的最值与不等式恒成立的辩证使用,达到化简问题、变难为易的解题目的.本文通过对其中几个
2024届广东省高三第五次六校联考数学第14题是一道典型的求两个不同函数的图象上双动点之间的距离最值问题,本文从以下几个方面研究该试题. 1.试题呈现 题目 已知A(x1,y1),B(x2,y2)分别是f(x)=mxex+x-ln(mx)和g(x)=2x-1图象上的动点,若对任意的m>0,都有|AB|a恒成立,则实数a的最大值是 . 2.解法探究 分析1 首先通过两个函数
极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,是概率论在统计学中的应用,是用来估计一个概率模型的参数的一种方法.本文从极大似然估计的基本原理和具体实例中研究其应用. 例1 (2023年2月安徽、吉林、云南和黑龙江四省联考数学第19题)一个池塘里的鱼的数目记为N,从池塘里捞出200尾鱼,并给鱼作上标识,然后把鱼放回池塘里,过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼,X表示捞出的500尾鱼
基金项目:北京市教育学会“十四五”教育科研课题“基于关键能力发展的高中数学学习进阶的研究”(ZXSXYB2021-024) 在函数中,我们常把含有条件“对于任意的x(或x,y),函数f(x)满足方程……”的问题称为函数方程问题.解决函数方程问题的常见思路有:(1)通过给函数方程中的变量赋值来求函数值;(2)通过给函数方程中的一个变量赋值,而另一个变量保持不变来求函数解析式;(3)将方程化为f(
基金项目:江苏省教育科学“十四五”重点课题“大概念视阈下高中数学单元作业设计实践研究”(JS/2022/ZD0301-01202) 近年,一元三次方程的韦达定理频繁的出现在高中数学竞赛和一些高校的强基计划考试中,实际上,一元三次方程韦达定理出现在人教A版新教材必修2教材中,属于阅读材料,但学生重视不够,实在可惜.本文结合近年相关试题分类赏析. 1.定理内容 设x1,x2,x3是实系数一元三
基金项目:安徽合肥市教育信息技术2023年度课题“智慧课堂下利用GGB培养高中生数学探究能力的实践研究”(项目编号:HDJ23017);合肥师范学院重点教学研究项目“依托国培计划对产教融合卓越教师培养模式的研究”(项目编号:2023zdjyxm02) 1.真题呈现 (2024年高联内蒙古预赛第8题)已知关于x的方程x3-3x+4=0的三个复数根分别为z1,z2,z3,则z1-z22(z2-z
文章对2024年浙江省女子奥林匹克选拔赛第1题进行详细分析,并从不同角度给出5种解法. 题目 设α,β,γ∈(0,π2),满足sin2α+sin2β+sin2γ=1,求使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ(sinα+sinβ+sinγ)最小的实数λ. 解法1 当sinα=sinβ=sinγ=33时,解得λ≥66,故只需证明当λ=66时,不等式成立,即证∑cycsinαs